Question

已知命题p：函数y=（a-1）^x在R上单调递增；命题q：不等式x+|x-3a|＞1的解集为R，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：首先，结合条件p∨q为真，p∧q为假，命题P和命题q必为一真一假，然后，分为：命题P真q假和命题P假q真，两种情形进行讨论即可．

解答：解：若p真，则a-1＞1⇒a＞2
q真?x+|x-3a|＞1恒成立，
设h（x）=x+|x-3a|，
则h（x）_min＞1，
∵h(x)=

2x-3a 3a

x≥3a x＜3a

，
易知h（x）_min=3a3a＞1，即a＞

1

3

，
∵p∨q为真，p∧q为假，
∴命题P和命题q必为一真一假，
下面分命题P真q假和命题P假q真，两种情形进行讨论：
（1）若p真q假，则a＞2且a≤

1

3

，矛盾  
（2）若p假q真，则a≤2且a＞

1

3

⇒

1

3

＜a≤2，
综上可知，a的取值范围是(

1

3

，2]

点评：本题重点考查命题的真假判断，复合命题的真假判断方法，理解逻辑联结词“且”“或”形式的命题的真假判断方法是解题关键，属于中档题．