题目内容

设函数F(x)=

f(x)

ex

是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　）

A．f（2）＞e²f（0），f（2012）＞e²⁰¹²f（0）

B．f（2）＜e²f（0），f（2012）＜e²⁰¹²f（0）

C．f（2）＞e²f（0），f（2012）＜e²⁰¹²f（0）

D．f（2）＜e²f（0），f（2012）＞e²⁰¹²f（0）

函数F(x)=

f(x)

ex

的导数为F′（x）=

f′(x)ex-f(x)ex

(ex)2

=

f′(x)-f(x)

ex

＜0，
故函数F(x)=

f(x)

ex

是定义在R上的减函数，
∴F（2）＜F（0），即

f(2)

e2

＜

f(0)

e0

，故有f（2）＜e²f（0）．
同理可得f（2012）＜e²⁰¹²f（0）．
故选B．

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设函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），
（1）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求f（x）表达式；
（2）在（1）的条件下，若g（x）=f（x）-kx，在区间[-2，2]上是单调函数，则实数k的取值范围；
（3）在（1）的条件下，F(x)=

，当x∈[-2，2]且x≠0时，求F（x）的值域．

，其中向量

=(sinx，cosx)，x∈R
（1）求使f（x）取得最大值时，向量

的夹角；
（2）若A={x|f（x）≥1}，B={x|-π≤x≤π}，求A∩B；
（3）若x∈{A，B，C}，且A，B，C是某个锐角三角形的三个内角，求证；存在x₀∈{A，B，C}，使得f（x₀）≤1．

（2013•潍坊一模）设函数f(x)=

mx3+(4+m)x2，g(x)=alnx，其中a≠0．
（ I ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P在y=f（x）的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性；
（Ⅲ）在（I）的条件下，设G(x)=

，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数h使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+h⊆D，且f（x+h）≥f（x），则称f（x）为M上的“h阶高调函数”．给出如下结论：
①若函数f（x）在R上单调递增，则存在非零实数h使f（x）为R上的“h阶高调函数”；
②若函数f（x）为R上的“h阶高调函数”，则f（x）在R上单调递增；
③若函数f（x）=x²为区间[-1，+∞）上的“h阶高诬蔑财函数”，则h≥2；
④若函数f（x）在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=|x-1|-1，则f（x）只能是R上的“4阶高调函数”．
其中正确结论的序号为（　　）

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数h使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+h⊆D，且f（x+h）≥f（x），则称f（x）为M上的“h阶高调函数”．给出如下结论：
①若函数f（x）在R上单调递增，则存在非零实数h使f（x）为R上的“h阶高调函数”；
②若函数f（x）为R上的“h阶高调函数”，则f（x）在R上单调递增；
③若函数f（x）=x²为区间[-1，+∞）上的“h阶高诬蔑财函数”，则h≥2；
④若函数f（x）在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=|x-1|-1，则f（x）只能是R上的“4阶高调函数”．
其中正确结论的序号为

A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④