Question

求函数y=（sinx-2）（cosx-2）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：函数化成y=sinxcosx-2（sinx+cosx）+4，利用sinx+cosx与sinx•cosx之间的关系，进行换元将函数转化成关于sinx+cosx的二次函数来解，即可得到函数的最大值和最小值．

解答：解：y=（sinx-2）（cosx-2）=sinxcosx-2（sinx+cosx）+4
令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，
则sinxcosx=

1

2

（t²-1）
y=

1

2

t²-2t+

7

2

=

1

2

（t-2）²+

3

2

，其中t∈[-

2

，

2

]，
∴当t=-

2

时，即x=

5π

4

+2kπ（k∈Z）时，函数的最大值为

9

2

+2

2

当t=

2

时，即x=

π

4

+2kπ（k∈Z）时，函数的最小值为

9

2

-2

2

综上所述：函数的最大值为

9

2

+2

2

，函数的最小值为

9

2

-2

2

点评：本题主要考查了两角和公式的化简求值，二次函数的性质．此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围．