Question

【题目】在单调递增数列{an}中，a1=2，a2=4，且a2n﹣1 ， a2n ， a2n+1成等差数列，a2n ， a2n+1 ， a2n+2成等比数列，n=1，2，3，…． （Ⅰ）（ⅰ）求证：数列 为等差数列；
（ⅱ）求数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）设数列 的前n项和为Sn ， 证明：Sn＞ ，n∈N* ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）证明：因为数列{an}为单调递增数列，a1=2＞0， 所以an＞0（n∈N*）．
由题意得2a2n=a2n﹣1+a2n+1 ， ，
于是 ，
化简得 ，
所以数列 为等差数列．
（ⅱ）解：因为a3=2a2﹣a1=6， ，
所以数列 的首项为 ，公差为 ，
所以 ，从而 ．
结合 ，可得a2n﹣1=n（n+1）．
因此，当n为偶数时an= ，当n为奇数时an= ．﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）证明：通过（ii）可知 = ．
因为an= ，
所以 ，
∴ +…

= ，
所以 ，n∈N* ．
【解析】（Ⅰ）（ⅰ）通过题意可知2a2n=a2n﹣1+a2n+1、 ，化简即得结论；（ⅱ）通过计算可知数列 的首项及公差，进而可得结论；（Ⅱ）通过（ii）、放缩、裂项可知 ＞4（ ﹣ ），进而并项相加即得结论．