Question

（2009•孝感模拟）已知函数f(x)=

1

2

-(

3

sinωx+cosωx)•cosωx(ω＞0)的最小正周期为4π
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．且满足

2a-c

b

=

cosC

cosB

，试求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）=-sin（2ωx+

π

6

），再根据周期求出ω的值．
（2）把已知的等式变形并利用正弦定理可得cosB=

1

2

，故B=

π

3

，故f(A)=-sin(

1

2

A+

π

6

) ，0＜A＜

2π

3

，
 根据正弦函数的定义域和值域求出f（A）的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

1

2

-

3

2

sin2ωx-cos2ωx=

1

2

-

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

  
=-(

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx)=-sin(2ωx+

π

6

)． （3分）
∵T=

2π

2ω

=4π，∴ω=

1

4

．（5分）
（2）∵

2a-c

b

=

cosC

cosB

，∴

(2a-c)cosB=bcosC

，

(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC

，
∴

2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA

．（7分）
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

．（10分）
∴f(A)=-sin(

1

2

A+

π

6

)，0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，
∴

1

2

＜sin(

A

2

+

π

6

)＜1，∴f(A)∈(-1，-

1

2

)．（12分）

点评：本题考查正弦定理，三角函数的恒等变换的应用，属于中档题．