Question

6．已知函数f（x）=$\frac{2{x}^{2}}{x+1}$，函数g（x）=asin（$\frac{π}{6}$x）-2a+2（a＞0），若存在x₁∈[0，1]，对任意x₂∈[0，1]都有f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，1]
• B． [$\frac{2}{3}$，1）
• C． [$\frac{2}{3}$，1]
• D． [$\frac{2}{3}$，2]

Answer 1

分析 由条件可得f（x₁）∈[0，1]，g（x₂）∈[2-2a，2-$\frac{3}{2}$a]．若存在x₁∈[0，1]，对任意x₂∈[0，1]都有f（x₁）=g（x₂）成立，所以$\left\{\begin{array}{l}2-\frac{3}{2}a≤1\\ 2-2a≥0\end{array}\right.$，解得a的范围．

解答 解：因为f（x）=$\frac{2{x}^{2}}{x+1}$，所以当x₁∈[0，1]时，f（x₁）∈[0，1]．
因为x₂∈[0，1]，所以$\frac{π}{6}$x₂∈[0，$\frac{π}{6}$]，又a＞0，所以asin（$\frac{π}{6}$x₂）∈[0，$\frac{1}{2}$a]，
所以g（x₂）∈[2-2a，2-$\frac{3}{2}$a]．
因为若存在x₁∈[0，1]，对任意x₂∈[0，1]都有f（x₁）=g（x₂）成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}2-\frac{3}{2}a≤1\\ 2-2a≥0\end{array}\right.$，解得a∈[$\frac{2}{3}$，1]，
故选：C．

点评 本题主要考查求函数的值域，正弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．