Question

三棱锥A-BCD的棱长全相等，E是AD中点，则直线CE与直线BD所成角的余弦值为（　　）

• A．

  3

  6

• B．

  3

  2

• C．

  33

  6

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：题目要求解的是两条异面直线所成角的余弦值，且给出了棱AD的中点E，可以想到再找AB的中点F，连接两中点EF，得到EF∥BD，则直线CE与直线BD所成角转化为直线CE与直线EF所成角，在三角形CEF中运用余弦定理可求∠CEF的余弦值，则直线CE与直线BD所成角的余弦值可求．

解答：解：如图，取AB中点F，连接EF，因为E、F分别为AD、AB的中点，则EF为三角形ABD的中位线，所以EF∥BD，
所以直线EF与CE所成的角即为直线CE与直线BD所成角，
因为三棱锥A-BCD的棱长全相等，设棱长为2a，则EF=a，
在等边三角形ABC中，因为F为AB的中点，所以CF为边AB上的高，
所以CF=

BC2-BF2

=

(2a)2-a2

=

3

a，
则CE=CF=

3

a，
在三角形CEF中，cos∠CEF=

CE2+EF2-CF2

2CE•EF

=

a2

2a• 3 a

=

3

6

．
所以，直线CE与直线BD所成角的余弦值为

3

6

．
故选A．

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧，此题是中低档题．