Question

设函数有两个极值点，且．
（1）求的取值范围，并讨论的单调性；
（2）证明：．

Answer 1

（1）的取值范围是
在区间和是增函数，在区间是减函数．
（2）见解析

（1）由题设知，函数的定义域是

且有两个不同的根，故的判别式
，
即
且               ①
又故．
因此的取值范围是．
当变化时，与的变化情况如下表：

因此在区间和是增函数，在区间是减函数．
（2）由题设和①知
 
于是．
设函数
则
当时，；
当时，故在区间是增函数．
于是，当时，

因此．