题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ．
（1）用函数单调性定义证明 $数学公式$ 在（1，+∞）上是单调减函数；
（2）求函数 $数学公式$ 在区间[3，4]上的最大值与最小值．

（1）证明：设x₁，x₂为区间（1，+∞）上的任意两个实数，且1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴ $\text{[math]}$ 在（1，+∞）上是单调减函数
（2）解：由（1）可知，函数 $\text{[math]}$ 在[3，4]上为单调递减函数
所以在x=3时，函数 $\text{[math]}$ 取得最大值 $\text{[math]}$ ；在x=4时，函数 $\text{[math]}$ 取得最小值 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用函数单调性的定义，取值、作差、变形、定号下结论，即可证得；
（2）由（1）可知，函数 $\text{[math]}$ 在[3，4]上为单调递减函数，由此可得函数 $\text{[math]}$ 在区间[3，4]上的最大值与最小值．
点评：本题考查函数单调性的定义，考查利用单调性求函数的最值，掌握函数单调性的证题步骤是关键．

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