题目内容

设s、t是两个非零实数， $数学公式$ 、 $数学公式$ 是单位向量，若s $数学公式$ +t $数学公式$ 与t $数学公式$ -s $数学公式$ 的模相等，则向量 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角是________．

90°
分析：根据向量的模相等，转化为对应的数量积相等，利用数量积的定义和题意进行化简，证明出它们的数量积为零，即两个向量垂直．
解答：由题意知，|s $\text{[math]}$ +t $\text{[math]}$ |=|t $\text{[math]}$ -s $\text{[math]}$ |，则（s $\text{[math]}$ +t $\text{[math]}$ ）²=（s $\text{[math]}$ -t $\text{[math]}$ ）²，
∴s² $\text{[math]}$ ²+2st $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +t² $\text{[math]}$ =t² $\text{[math]}$ ²-2t $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +s² $\text{[math]}$ ²，
∵| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=1，∴4st $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，即 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，∴ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ．
故答案为：90°．
点评：本题是有关向量的综合题，考查了向量的模与它的数量积之间的转化，利用向量的数量积与向量垂直之间的等价关系的应用．