Question

三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，则异面直线BA₁与AC₁所成角的余弦值等于

1

4

．

Answer 1

分析：延长CA到D，使AD=AC，根据异面直线所成角的定义可知∠DA′B就是异面直线BA′与AC′所成的角，解△A′DB，利用余弦定理可求得此角的余弦值．

解答：解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA′C′为平行四边形，
∴AC′∥A′D，∴∠DA′B就是异面直线BA′与AC′所成的角，
又三角形ABC为等边三角形，
设AB=AA′=1，
则BD=

1+1-2×1×1×(- 1 2 )

=

3

；A′B=A′D=

2

，∠BAD=120°，
在△A′BD中，cos∠DA′B=

2+2-3

2× 2 × 2

=

1

4

．
故答案是：

1

4

．

点评：本小题主要考查直三棱柱ABC-A′B′C′的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想．求异面直线所成的角，一般有两种方法，法一几何法，即利用“作、证、求”求得角；法二向量法，即利用向量的数量积公式求向量的夹角的余弦值．