Question

如图：点P在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线BC₁上运动，则下列四个命题：
①C₁B与平面ABCD所成的角为45°；
②三棱锥A-D₁PC的体积不变；
③A₁P∥面ACD₁；
④DP⊥BC₁．
其中正确的命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：对于①，CB为C₁B在平面ABCD中的射影，所以∠C₁BC为C₁B与平面ABCD所成的角，等于45°；
对于②，可以证明BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离均相等，所以三棱锥A-D₁PC的体积不变；
对于③，可证面BA₁C₁∥面ACD₁，从而由面面平行的性质可得A₁P∥面ACD₁；
对于④，由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁，若DP⊥BC₁，则DC与DP重合，与条件矛盾．

解答：解：对于①，CB为C₁B在平面ABCD中的射影，所以∠C₁BC为C₁B与平面ABCD所成的角，等于45°，故正确；
对于②，∵AD₁∥BC₁，BC₁?平面AD₁C，AD₁?平面AD₁C，∴BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD₁C为底面，三棱锥A-D₁PC的体积不变，故正确；
对于③，连接A₁B，A₁C₁，则A₁C₁∥AC，∵AD₁∥BC₁∴面BA₁C₁∥面ACD₁，从而由面面平行的性质可得A₁P∥面ACD₁，故正确；
对于④，由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁，若DP⊥BC₁，则DC与DP重合，与条件矛盾，故不正确；
综上知，①②③
故答案为：①②③

点评：本题考查三棱锥体积求法中的等体积法，考查线面平行、垂直的判定，考查线面角，综合性强．