Question

8．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，则直线l被曲线C截得的弦长为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{14}}{2}$
• B． $\sqrt{14}$
• C． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 把直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程都化为普通方程，利用圆心到直线l的距离d与半径r求出弦长|AB|的值．

解答 解：把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t为参数）化为普通方程是
x+y-3=0，
把曲线C的极坐标方程ρ=4sinθ变形为
ρ²=4ρsinθ，
化为普通方程是x²+y²=4y，
即x²+（y-2）²=4，
它表示圆心为（0，2），半径r=2的圆；
则圆心到直线l的距离为
d=$\frac{|2-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以，直线l被曲线C截得的弦长为
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{{2}^{2}{-（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{14}$．
故选：B．

点评 本题考查了直线的参数方程与圆的极坐标方程的应用问题，解题时可以化为普通方程进行解答，是基础题目．