Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞1时，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³．

Answer 1

分析：（1）确定函数的定义域，求导函数，可得导数的正负，即可得到函数的单调区间；
（2）构造函数g（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx，确定g（x）在（1，+∞）上为增函数，即可证得结论．

解答：（1）解：依题意知函数的定义域为{x|x＞0}，
∵f′（x）=x+

1

x

，∴f′（x）＞0，
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
（2）证明：设g（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx，
∴g′（x）=2x²-x-

1

x

，
∵当x＞1时，g′（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（1）=

1

6

＞0，
∴当x＞1时，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数，确定函数的单调性是关键．