Question

如图，在多面体ABCD﹣EF中，四边形ABCD为正方形，EFAB，EF⊥EA，AB=2EF，
∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EH平面FAC；
（Ⅱ）求证：EH⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角A﹣FC﹣B的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：AC∩BD=O，连接HO，FO
因为ABCD为正方形，所以O是AC中点，
又H是AD中点，
所以，，
所以EF∥OH且EF=OH，
所以四边形EHOF为平行四边形，
所以EHFO，
又因为FO平面FAC，EH平面FAC．
所以EH平面FAC．
（Ⅱ）证明：因为AE=ED，H是AD的中点，
所以EH⊥AD
又因为ABEF，EF⊥EA，所以AB⊥EA
又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面AED，
因为EH平面AED，
所以AB⊥EH，
所以EH⊥平面ABCD．
（Ⅲ）解：AC，BD，OF两两垂直，建立如图所示的坐标系，
设EF=1，则AB=2，，，F（0，0，1）
设平面BCF的法向量为，，
所以
平面AFC的法向量为
．                      
二面角A﹣FC﹣B为锐角，
所以二面角A﹣FC﹣B等于．