Question

【题目】已知函数，

（1）求的最大值；

（2）若对于任意的，不等式恒成立，求整数a的最小值.（参考数据，）

Answer 1

【答案】（1）0；（2）3

【解析】

（1）先利用导数分析的单调性，即可求解；

（2）先构造两函数之差为，本题转化为，从而需分析的单调性.当时，用特值法得，得到不合题意；当时，分析的单调性得，再令 ，利用单调递减和特值确定当时，，得到整数a的最小值为3.

（1）

令，即，解得，令，即，

解得.∴函数在上单调递增，在上单调递减；

的最大值为.

（2）令

所以.

当时，因为，所以.

所以在上是递增函数，

又因为，

所以关于x的不等式不能恒成立.

当时，

令，得.

所以当时，；

当时，，

因此函数在是增函数，在是减函数.

故函数的最大值为，

令，

因为，，

且在是减函数.

所以当时，.

所以整数a的最小值为3.