Question

定义在R上的函数f（x）=ax³+cx，满足：①函数f（x）图象过点（3，-6）；②函数f（x）在x₁，x₁处取得极值且|x₁-x₂|=4．
求：（1）函数f（x）的表达式；
（2）若a，β∈R，求证：|f（2cosa）-f（2sinβ）|≤

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3

．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，根据韦达定理得到关于a，c的等式，将点（3，-6）代入f（x）的解析式得到a，c的另一个等式，解方程组求出a，c的值，代入f（x）中得到其解析式．
（2）求出f（x）的导函数，判断出导函数在[-2，2]上的符号，判断出函数在[-2，2]上的单调性，求出f（x）在[-2，2]上的最值，得证．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+c=0 
由②知c=-12a
∵函数f（x）图象过点（3，-6）；
∴27a+3c=-6
∴a=

2

3

，c=-8，
故f(x)=

2

3

x3-8x；
（2）若α，β∈R，2cosα，2sinβ∈[-2，2]，
而y′=2x²-8≤0在[-2，2]恒成立，故y=f（x）在[-2，2上是减函数
∴ymin=f(2)=-

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，ymax=

32

3

∴∴|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤|

32

3

-(-

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)|=

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点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．导数是高考的热点问题，每年必考，要给予重视．