Question

设函数f（x）=（m、n为常数，且m∈R⁺，n∈R）．
（Ⅰ）当m=2，n=2时，证明函数f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）若f（x）是奇函数，求出m、n的值，并判断此时函数f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明不是奇函数，只要证明：f（-x）≠-f（x），可得f（x）不是奇函数；
（2）利用奇函数定义f（-x）=-f（x），再用待定系数法求解；利用单调性的定义即可判断
解答：证明（I）当m=2，n=2时，f（x）=，函数的定义域为R
∴==，=
∴f（-x）≠-f（x）
则函数f（x）不是奇函数
（II）若函数f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x）
∴=-
∴=
化简整理得（m-n）•2^2x+（m+mn-2）•2^x+（m-1）=0，这是关于x的恒等式，
∴
∴m=1，n=1，f（x）==
设x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=
==
∵x₁＜x₂
∴
∴＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）单调递增函数
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．