题目内容
已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过
、
、
三点. （1）求椭圆的方程；
（2）若点D为椭圆上不同于
、
的任意一点，
，当
内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线
与椭圆交于
、
两点，证明直线
与直线
的交点在定直线上并求该直线的方程．
解：（1）设椭圆方程为
将
、
、
代入椭圆E的方程，得
解得
. ∴椭圆
的方程
（4分）
（2）
，设
边上的高为
当点
在椭圆的上顶点时，
最大为
，所以
的最大值为．
设的内切圆的半径为
，因为的周长为定值6．所以
，
所以的最大值为
．所以内切圆圆心的坐标为
（10分）
（3）将直线
代入椭圆的方程并整理．
得
．
设直线
与椭圆的交点
，
由根系数的关系，得
．
直线
的方程为：
，它与直线
的交点坐标为
同理可求得直线
与直线的交点坐标为
．
下面证明
、
两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：
，
因此结论成立．
综上可知．直线与直线的交点住直线上． （16分）
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