Question

【题目】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈(1,3)时，有f(x)≤ (x＋2)2成立．

(1)证明：f(2)＝2；

(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表达式；

Answer 1

【答案】（1）2（2）

【解析】

（1）由f（x）≥x得f（2）≥2因为当x∈（1，3）时，有f（x）≤成立，所以f（2）≤=2．从而求得f（2）的值即可；

（2）由得出a，b，c的关系式，于是f（x）=ax2+x+1﹣4a，结合f（x）≥xax2﹣x+1﹣4a≥0．结合方程的思想求得a值即可得出f（x）的表达式．

证明：（1）由f（x）≥x得f（2）≥2．

因为当x∈（1，3）时，有f（x）≤成立，所以f（2）≤=2．

所以f（2）=2．

解：（2）由得

从而有b=，c=1﹣4a．于是f（x）=ax2+x+1﹣4a．

f（x）≥xax2﹣x+1﹣4a≥0．

若a=0，则﹣x+1≥0不恒成立．

所以即解得a=．

当a=时，f（x）=

满足f（x）≤．

故f（x）=．