Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，-b），则椭圆的离心率的取值范围为（　　）

• A、(0，

  6

  3

  ]
• B、[

  6

  3

  ，1)
• C、(0，

  2

  2

  ]
• D、[

  2

  2

  ，1)

Answer 1

分析：设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，利用两点间的距离公式可得：|PA|²=x²+（y-b）²=a2(1-

y2

b2

)+(y-b)2=-

c2

b2

(y-

-b3

c2

)2+

a4

c2

=f（y），由于椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，-b），利用二次函数的单调性可知：f（y）在（-b，b）单调递减，可得

-b3

c2

≤-b，即可得出离心率的取值范围．

解答：解：设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，
则

x2

a2

+

y2

b2

=1，化为x2=a2(1-

y2

b2

)．
∴|PA|²=x²+（y-b）²=a2(1-

y2

b2

)+(y-b)2=-

c2

b2

(y-

-b3

c2

)2+

a4

c2

=f（y），
∵椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，-b），
由二次函数的单调性可知：f（y）在（-b，b）单调递减，
∴

-b3

c2

≤-b，
化为c²≤b²=a²-c²，即2c²≤a²，
∴e≤

2

2

．
又e＞0．
∴离心率的取值范围是(0，

2

2

]．
故选：C．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点间的距离公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．