Question

如图所示，在半径为1的⊙O中，引两条互相垂直的直径AE和BF，在EF上取点C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q，弦EF交AC于D．

证明：四边形APQB的面积是1．

Answer 1

答案：
解析：

证明：因为AE、BF为互相垂直的两条直径，垂足O为圆心， 　　所以AE、BF互相平分，垂直且相等， 　　所以四边形ABEF是正方形． 　　所以∠ACB＝∠AEF＝45°，即∠DCQ＝∠QED． 　　所以D、Q、E、C四点共圆． 　　连结CE、DQ， 　　则∠DCE＋∠DQE＝180°． 　　因为AE为⊙O的直径， 　　所以∠DCE＝90°，∠DQE＝90°． 　　因为∠FOE＝90°， 　　进而DQ∥BF， 　　所以S△BPQ＝S△BPD． 　　所以S△ABP＋S△BPQ＝S△ABP＋S△BPD， 　　即S四边形ABQP＝S△ABD． 　　因为⊙O的半径为1， 　　所以正方形边长为2， 　　即AB＝AF＝2． 　　所以S四边形ABQP＝S△ABD＝AB·AF＝1． 　　分析：由已知条件可以证明四边形ABEF是正方形，且边长为，则正方形面积为2．而△ABD的面积为正方形面积的一半，所以，只需证明S四边形APQB＝S△ABD，即证S△BPD＝S△BPQ，即证DQ∥PB．因为BP⊥AE，所以只需证DQ⊥AE．