题目内容

已知函数f（x）=16x3-20ax2+8a2x-a3，其中a≠0．
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）设（1）问中函数取得极大值的点为P（x，y），求点P的轨迹方程．
（1）∵f（x）=16x3-20ax2+8a2x-a3，其中a≠0，
∴f'（x）=48x2-40ax+8a2=8（2x-a）（3x-a）
由f′（x）=0，得x=
a
2
，x=
a
3
，
当a＞0时，
a
3
＜
a
2
，见下表：
x (-∞，
a
3
)
a
3
 (
a
3
，
a
2
)
a
2
 (
a
2
，∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 增函数 极大 减函数 极小 增函数
∴当x=
a
3
时，函数取得极大值为f(
a
3
)=
a3
27
；
当x=
a
2
时，函数取得极小值为f(
a
2
)=0
当a＜0时，
a
2
＜
a
3
，见下表：
x (-∞，
a
2
)
a
2
 (
a
2
，
a
3
)
a
3
 (
a
3
，∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 增函数 极大 减函数 极小 增函数
∴当x=
a
2
时，函数取得极大值为f(
a
2
)=0；
当x=
a
3
时，函数取得极小值为f(
a
3
)=
a3
27
，
（2）由（1）可知：
当a＞0时，
x=
a
3
y=
a3
27
，消去a得：y=x3（x＞0），
当a＜0时，
x=
a
2
y=0
，消去a得：y=0（x＜0），
所以 P点的轨迹方程为：y=
x3，x＞0
0，x＜0
．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
1
|x|
，g（x）=1+
x+|x|
2
，若f（x）＞g（x），则实数x的取值范围是（　　）
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、(-∞，-1)∪(0，
-1+
5
2
)
C、(-1，0)∪(
-1+
5
2
，+∞)
D、(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)
已知函数f（x）=
1，x∈Q
0，x∉Q
，则f[f（π）]=（　　）
已知函数f（x）=
1-x
ax
+lnx(a＞0)
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（3）当a=1时，求证对任意大于1的正整数n，lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
恒成立．
已知函数f（x）=1+cos2x-2sin2（x-
π
6
），其中x∈R，则下列结论中正确的是（　　）
已知函数f（x）=1+logax（a＞0，a≠1），满足f（9）=3，则f-1（log92）的值是（　　）

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