Question

定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（x^y）=yf（x）
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若f(

1

2

)＜0，求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）若f(

1

2

)＜0，解不等式f（|3x-2|-2x）＜0．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（x^y）=yf（x），令令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），进而得到f（1）的值；
（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂，根据函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（x^y）=yf（x）及f(

1

2

)＜0，可以判断出f（x₁）-f（x₂）＜0，进而根据增函数的定义得到f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）由（I）（II）中的结论，可将不等式f（|3x-2|-2x）＜0化为0＜|3x-2|-2x＜1，解绝对值不等式即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），故f（1）=0…（4分）
证明：（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂，∴存在s，t使得x₁=（

1

2

）^s，x₂=（

1

2

）^t，且s＞t．又f（

1

2

）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f[（

1

2

）^s]-f[（

1

2

）^t]=sf（

1

2

）-tf（

1

2

）=（s-t）f（

1

2

）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（9分）
解：（Ⅲ）由（Ⅰ）得f（|3x-2|-2x）＜0   即：f（|3x-2|-2x）＜f（1）
由（Ⅱ）可知0＜|3x-2|-2x＜1
解得：

1

5

＜x＜

2

5

或2＜x＜3…（14分）

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数单调性的应用，其中（I）的关键是根据已知凑配出f（1）的方程，（II）的关键是熟练掌握定义法判断函数单调情的步骤，（III）的关键是根据（I）（II）的结论，将不等式f（|3x-2|-2x）＜0化为0＜|3x-2|-2x＜1．