Question

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形。

Answer 1

证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C，           ①
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π，      ②
由①②得，B=，                                                 ③
由a，b，c成等比数列，有b²=ac，                          ④
由余弦定理及③，可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac， 
再由④，得a²+c²-ac=ac，
即(a-c)²=0，因此a=c，
从而A=C，                                                              ⑤
由②③⑤，得A=B=C=，
所以△ABC为等边三角形。