Question

如图，在梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点.当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围.

Answer 1

分析：建立坐标，由双曲线的性质及定比分点公式等建立λ与e之间的关系.

解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，所以A(-c,0)(其中c=|AB|为双曲线-=1,a＞0的半焦距)，x_C=,由定比分点坐标公式，得

x_E=.

    由双曲线的焦半径公式，得|AC|=ex_C+a=+a，

|AE|=-ex_E-a=--a.

    又=,∴=.

    解之得e²==-2+.

    由≤λ≤,∴7≤e²≤10,即≤e≤.