Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，右图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）求出f（5）；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；
（3）求+++…+的值．

Answer 1

解：（1）∵f（1）=1，
f（2）=1+4=5，
f（3）=1+4+8=13，
f（4）=1+4+8+12=25，
∴f（5）=1+4+8+12+16=41．
（2）∵f（2）﹣f（1）=4=4×1，
f（3）﹣f（2）=8=4×2，
f（4）﹣f（3）=12=4×3，
f（5）﹣f（4）=16=4×4，
由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．
∴f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）， f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4（n﹣2）， f（n﹣2）﹣f（n﹣3）=4（n﹣3）， … f（2）﹣f（1）=4×1，
∴f（n）﹣f（1）=4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1] =2（n﹣1）n，
∴f（n）=2n²﹣2n+1．
（3）当n≥2时，==（﹣），
∴+++…+
=1+（1﹣+﹣+…+﹣）
=1+（1﹣）=﹣．