Question

已知函数f(x)=

3

sin2x+cos2x-m在[0，

π

2

]上有两个零点x₁，x₂，则tan

x1+x2

2

的值为（　　）

• A．

  3

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：利用两角和与差的正弦将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+

π

6

）-m，由x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，利用正弦函数的单调性可求对应区间上f（x）=2sin（2x+

π

6

）-m的值域，结合题意可从而可得答案．

解答：解：∵f（x）=

3

sin2x+cos2x-m
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）-m
=2sin（2x+

π

6

）-m，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
∵f（x）=

3

sin2x+cos2x-m在[0，

π

2

]上有两个零点x₁，x₂，
∴正弦y=m与f（x）=

3

sin2x+cos2x在在[0，

π

2

]上有两个交点，如图：
∴x₁+x₂=

π

3

，
∴tan

x1+x2

2

=tan

π

6

=

3

3

，
故选：D．

点评：本题考查两角和与差的正弦，考查三角函数的图象与性质，着重考查函数的零点与半角三角函数，求得

x1+x2

2

是关键，属于中档题．