Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如图E、F分别是BB₁，CD的中点，
（1）求证：D₁F⊥平面ADE；
（2）cos?

EF

，

CB1

?（说明如何建系）

Answer 1

分析：以DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立直角坐标系，
（1）表示出

D1F

，

D A

，

AE

，

D1F

•

DA

=0，

D1F

•

AE

=0，推出

D1F

⊥

DA

，

D1F

⊥

AE

．证明D₁F⊥平面ADE；
（2）以DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立如图所示的直角坐标系，求出

CB1

，

EF

，利用?

EF

，

CB1

?=

EF • CB1

| EF |•| CB1 |

求出cos?

EF

，

CB1

?

解答：解：建立如图所示的直角坐标系，
（1）证明：不妨设正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），A（1，0，0），D₁（0，0，1），
E（1，1，

1

2

），F（0，

1

2

，0），
则

D1F

=（0，

1

2

，-1），

D A

=（1，0，0），

AE

=（0，1，

1

2

），
则

D1F

•

DA

=0，

D1F

•

AE

=0，
∴

D1F

⊥

DA

，

D1F

⊥

AE

．∴D₁F⊥平面ADE；

（2）解：B₁（1，1，1），C（0，1，0），
故

CB1

=（1，0，1），

EF

=（-1，-

1

2

，-

1

2

），
∴

EF

•

CB1

=-1+0-

1

2

=-

3

2

，|

EF

|=

1+ 1 4 + 1 4

=

3 2

，|

CB1

|=

2

，
则cos?

EF

，

CB1

?=

EF • CB1

| EF |•| CB1 |

=

- 3 2

3 2 • 2

=-

3

2

.?

EF

，

CB1

?=150°．

点评：本题考查用空间向量求直线间的夹角、距离，向量语言表述线面的垂直、平行关系，考查计算能力，转化思想，是中档题．