Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁、F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，．
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点M的直线l'与椭圆交于C、D两点，若，求直线l'的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）设椭圆方程为 ，半焦距为c，由题意能够导出a=2，b=，c=1，故椭圆方程为 ．
（II）设所求l'的方程为y=k（x+4），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直的公式即可求得k值，从而解决问题．
解答：解：（I）设椭圆的方程为，半焦距为c

（II）点M的坐标为M（-4，0），设C、D两点坐标分别为C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），l'的方程为y=k（x+4），代入椭圆方程整理，得

后三个式子得
解得，代入第一个中检验有△＞0，∴，
所以所求直线l’的主程为
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线方程的应用、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于基础题．