题目内容

已知函数f(x)=
1
4x+2
(x∈R），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=
1
2
1
2
；若n∈N*，则f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(
n
n
)=
n
4
-
1
12
n
4
-
1
12
．
分析：由已知中函数f(x)=
1
4x+2
(x∈R），我们结合x1+x2=1，可得f（x1）=
1
4x1+2
，f（x2）=
1
4(1-x1)+2
，代入计算即可得到f（x1）+f（x2）的值，进而根据结论，利用分组求和法，即可求出f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(
n
n
)的值．
解答：解：∵函数f(x)=
1
4x+2
(x∈R），
∴f（x1）=
1
4x1+2

又∵x1+x2=1，x2=1-x1，
∴f（x2）=
1
4(1-x1)+2

f（x1）+f（x2）=
1
4x1+2
+
1
4(1-x1)+2
=
2
2•4x1+4
+
4x1
4 +2•4x1
=
2+4x1
4 +2•4x1
=
1
2

∴f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(
n
n
)
=[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+[f(
2
n
)+f(
n-1
n
)]+…+f(
n
n
)
=
n-1
2
•
1
2
+f(1)
=
n
4
-
1
12

故答案为：
1
2
；
n
4
-
1
12
．
点评：本题考查的知识点是求函数的值，数列求和，其中求出当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=
1
2
，是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
（1）、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的图象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．
已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex，若同时满足条件：
①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)与f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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