Question

已知函数f（x）=sinx-cosx，f′（x）是f（x）的导函数，求函数t（x）=2f（x）f′（x-1）的值域和对称轴．

Answer 1

分析：先求出 f′（x），可得 f′（x-1），从而得到故函数t（x）=2f（x）f′（x-1）的解析式，化简为2sin1-2cos（2x-1），由-1≤cos（2x-1）≤1求出值域，令2x-1=kπ，k∈z，
可得对称轴为 x=

kπ+1

2

，k∈z．

解答：解：∵函数f（x）=sinx-cosx，∴f′（x）=cosx+sinx，f′（x-1）=cos（x-1）+sin（x-1）．
故函数t（x）=2f（x）f′（x-1）=（2sinx-2cosx）[cos（x-1）+sin（x-1）]=2sinxcos（x-1）+2sinssin（x-1）-2cosxcos（x-1）-2cosxsin（x-1）
=2sin[x-（x-1）]-2cos[x+（x-1）]=2sin1-2cos（2x-1）．
∵-1≤cos（2x-1）≤1，∴2sin1-2≤2sin1-2cos（2x-1）≤2sin1+2，∴函数的值域为[2sin1-2 2sin1+2]．
令2x-1=kπ，k∈z，可得 x=

kπ+1

2

，k∈z，故对称轴为  x=

kπ+1

2

，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的对称性，导数的运算，属于基础题．