Question

设a∈R，f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(

π

2

-x)满足f(-

π

3

)=f（0），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[

π

4

，

11π

24

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(

π

2

-x)=

1

2

asin2x-cos2x，f(-

π

3

)=f(0)，能够求出a=2

3

．由此能求出函数f（x）的解析式．
（2）当x∈[

π

4

，

11π

24

]时，2x-

π

6

∈[

π

3

，

3π

4

]，由此能求出函数f（x）在[

π

4

，

11π

24

]上的最大值和最小值．

解答：（本小题满分13分）
解：（1）∵f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(

π

2

-x)
=asinxcosx-cos²x+sin²x
=

1

2

asin2x-cos2x，f(-

π

3

)=f(0)，…（2分）
∴-

3

4

a+

1

2

=-1，
∴a=2

3

．…．（4分）
∴f(x)=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)．…（6分）
（2）当x∈[

π

4

，

11π

24

]时，
∴2x-

π

6

∈[

π

3

，

3π

4

]，…（7分）
∴当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）取得最大值2．…（10分）
∴当2x-

π

6

=

3π

4

，即x=

11π

24

时，f（x）取得最小值

2

．
∴f（x）的最大值为2，f（x）的最小值为

2

．…（13分）

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的最大值和最小值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等式的合理运用．