Question

设f（x）是定义在R上的增函数，令g（x）=f（x）-f（2010-x），
（1）求证g（x）+g（2010-x）时定值；
（2）判断g（x）在R上的单调性，并证明；
（3）若g（x₁）+g（x₂）＞0，求证x₁+x₂＞2010。

Answer 1

解：（1）∵，
∴为定值。
（2）g（x）在R上的增函数；
设，
∵f（x）是R上的增函数，
∴，

，
即，
∴g（x）在R上的增函数。
（3）假设，
故，
又，
所以矛盾，
∴。