Question

已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x-y+10=0上．（1）若动圆C过点（-5，0），求圆C的方程；（2）是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x²+y²=r²相外切的圆有且只有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求动圆的方程，可以利用待定系数法，由于半径已知，故我们可以设圆心坐标为待定系数，再根据圆心在直线l：x-y+10=0上，及圆C过点（-5，0），构造方程组，解方程组求出待定的系数，即可得到圆的方程．
（2）两圆外切，则R+r=d（其中d为圆心距），我们不妨假设r存在，然后分类讨论，即可得到答案．

解答：解：（1）依题意，可设动圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=25，其中圆心（a，b）满足a-b+10=0．
又∵动圆过点（-5，0），故（-5-a）²+（0-b）²=25．
解方程组

a-b+10=0 (-5-a)2+(0-b)2=25

可得

a=-10 b=0

或

a=-5 b=5

故所求的圆C方程为（x+10）²+y²=25或（x+5）²+（y-5）²=25．
（2）圆O的圆心（0，0）到直线l的距离d=

|10|

1+1

=5

2

．
当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x²+y²=r²相切的圆；
当r满足r+5=d，即r=5

2

-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x²+y²=r²相外切；
当r满足r+5＞d，与圆O：x²+y²=r²相外切的圆有两个．
综上：r=5

2

-5时，动圆C中满足与圆O：x²+y²=r²相外切的圆有一个．

点评：求圆的方程时，据条件选择合适的方程形式是关键．
（1）当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般式，通过解三元一次方程组来得相应系数．
（2）当条件中给出的圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．