Question

（2012•江苏一模）已知数列{a_n}满足：a1=

1

2

，an+1=

2an

an+1

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明：不等式0＜a_n＜a_n+1对于任意的n∈N^*都成立．

Answer 1

分析：（1）利用a1=

1

2

，an+1=

2an

an+1

，将n=1，2代入计算，即可求a₂，a₃的值；
（2）对an+1=

2an

an+1

两边取倒数，可得{

1

an

-1}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，即可确定数列的通项，从而可证结论．

解答：（1）解：∵a1=

1

2

，an+1=

2an

an+1

∴a2=

1

1 2 +1

=

2

3

，a3=

4 3

2 3 +1

=

4

5

（2）证明：因为a1=

1

2

，an+1=

2an

an+1

 (n∈N*)，所以an≠0(n∈N*)．
于是在an+1=

2an

an+1

两边取倒数得

1

an+1

=

1

2

•

1

an

+

1

2

，
整理得

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，而

1

a1

-1=1，
所以{

1

an

-1}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
所以

1

an

-1=(

1

2

)n-1，所以

1

an

=1+(

1

2

)n-1＞0，
所以0＜

1

an+1

=1+(

1

2

)n＜

1

an

，
故不等式0＜a_n＜a_n+1对于任意n∈N^*都成立．

点评：本题考查数列的通项，考查不等式的证明，两边取倒数，证明数列是等比数列是关键．