Question

已知S_n=（

1

2

）²+（

1

3

）²+…+（

1

n+1

）²，判断命题

1

6

＜S_n＜1，对任意的n∈N⁺成立的真假，说明理由．

Answer 1

分析：利用n（n-1）＜n²＜n（n+1）（n≥2），可得

1

n

-

1

n+1

＜

1

n2

＜

1

n-1

-

1

n

，裂项求和可得结论．

解答：解：∵n（n-1）＜n²＜n（n+1）（n≥2）
∴

1

n(n+1)

＜

1

n2

＜

1

n(n-1)

∴

1

n

-

1

n+1

＜

1

n2

＜

1

n-1

-

1

n

∴

1

2

-

1

n+2

＜S_n＜1-

1

n+1

∵n≥2
∴

1

2

-

1

n+2

≥

1

4

，1-

1

n+1

＜1
∴命题

1

6

＜S_n＜1，对任意的n∈N⁺成立．

点评：本题考查命题真假判断，考查裂项求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．