Question

设函数f（x）=ax+（a, b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3.

（Ⅰ）求f（x）的解析式：

（Ⅱ）证明：函数y=f（x）的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

Answer 1

解：（Ⅰ）

         于是，解得或

         因，故。

（Ⅱ）证明：已知函数，都是奇函数

         所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。

    而，

可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，

故函数的图像是以点为中心的对称图形。

（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点，

由知，过此点的切线方程为

，

令得，切线与直线交点为。

令得，切线与直线的交点为，

直线与直线的焦点为，

从而所围三角形的面积为

所以，所围三角形的面积为定值2。