Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）设x₁，x₂，x₃为方程f（x）=0的三个根，且x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），x₃（-∞，-1）∪（1，+∞），求证：|a|＞1．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的导函数f′（x）=-3x²+2ax，f′（x）=0的两个根分别为x=0或x=

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a，为了求函数的单调增区间，需讨论a与0的关系，结合已知函数f（x）在（0，2）上是增函数，区间（0，2）应为函数单调增区间的子区间，从而求得a的范围，也可根据导函数的图象开口向下，过（0，0）的特点，只需导函数在（0，2）上恒大于或等于零，即

f′(0)≥0 f′(2)≥0

解得a的范围．
（2）由于一元三次方程最多三个根，且x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），x₃（-∞，-1）∪（1，+∞），由根的存在性定理，f（-1）×f（0）＜0，且f（0）×f（1）＜0，得关于a和b的不等式，分别讨论b＞0，b=0，b＜0，证明满足题意的a的绝对值恒大于1

解答：解：（1）解：由题意，得f′（x）=-3x²+2ax 
令f′（x）=0，解得x=0或x=

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a
当a＜0时，由f′（x）＞0，解得

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a＜x＜0，
∴f（x）在（

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a，0）上是增函数，与题意不符，舍去      
当a=0时，由f′（x）=-3x²≤0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数与题意不符，舍去   
当a＞0时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜

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a
∴f（x）在（0，

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a）上是增函数，
又∵f（x）在（0，2）上是增函数，
所以

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a≥2，解得a≥3   
综上，a的取值范围为[3，+∞）         
另解：要使f（x）在（0，2）上是增函数，只需f′（x）在（0，2）上恒大于或等于零
∵f′（x）=）=-3x²+2ax 的图象是开口向下的抛物线，且过定点（0，0）
∴只需

f′(0)≥0 f′(2)≥0

，即

0≥0 -3×4+4a≥0

a≥3，即a的取值范围为[3，+∞）      
（2）解：因为方程f（x）=-x³+ax²+b=0最多只有3个根，
由题意得在区间（-1，0）内仅有一根，
∴f（-1）f（0）=b（1+a+b）＜0，①
由题意得在区间（0，1）内仅有一根，
∴f（0）•f（1）=b（-1+a+b）＜0      ②
当b=0时，∵f（0）=0，
∴f（x）=0有一根0，这与题意不符，
∴b≠0
当b＞0时，由①得1+a+b＜0，即a＜-b-1，
由②得-1+a+b＜0，即a＜-b+1，
∵-b-1＜-b+1，∴a＜-b-1＜-1，
即a＜-1    
当b＜0时，由①得1+a+b＞0，即a＞-b-1，
由②得-1+a+b＞0，即a＞-b+1，
∵-b-1＜-b+1，∴a＞-b+1＞1，
即a＞1  
综上，|a|＞1

点评：本题考查了导数在函数单调性中的应用，已知函数的单调性求参数范围的解决方法，函数的零点存在性定理与方程根的分布的关系，分类讨论的思想方法