Question

求圆心在直线l₁：y=

1

2

x上，与直线l₂：x-2y-4

5

=0相切，且经过点（2，5）的圆的方程．

Answer 1

分析：根据圆心C在直线l₁上，设出圆心坐标，半径为r，表示出圆C方程，根据圆C与直线l₂相切，得到圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式求出圆的半径，将已知点代入所设圆方程求出b的值，确定出圆心坐标，写出圆的方程即可．

解答：解：由圆心在直线l₁：y=

1

2

x上，设圆心C（2b，b），
圆方程可设为（x-2b）²+（y-b）²=r²，（r＞0），
∵圆C与直线l₂：x-2y-4

5

=0相切，
∴圆心C到直线的距离d=r，即d=r=

|2b-2b-4 5 |

5

=4，
∵点（2，5）在圆上，∴（2-2b）²+（5-b）²=16，
整理得：5b²-18b+13=0，
解得：b₁=

13

5

，b₂=1，
则所求圆方程为（x-

26

5

）²+（y-

13

5

）²=16或（x-2）²+（y-1）²=16．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及你的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．