Question

（2013•昌平区二模）如图，AB切圆O于点A，AC为圆O的直径，BC交圆O于点D，E为CD的中点，且BD=5，AC=6，则CD=

4

；AE=

2

6

．

Answer 1

分析：如图所示，连接AD．由于AB切圆O于点A，AC为圆O的直径，可得∠BAC=90°，∠ADC=90°．由射影定理可得AC²=CD•CB．代入解出即可．在Rt△ACD中，可得cos∠ACD．
在△ACE中，由余弦定理即可得出．

解答：解：如图所示，连接AD．
∵AB切圆O于点A，AC为圆O的直径，
∴∠BAC=90°，∠ADC=90°．
由射影定理可得AC²=CD•CB．
∵BD=5，AC=6，∴6²=CD•（CD+5），
解得CD=4．
在Rt△ACD中，cos∠ACD=

CD

AC

=

4

6

=

2

3

．
在△ACE中，由余弦定理可得AE²=CE²+AC²-2CE•ACcos∠ACE
=22+62-2×2×6×

2

3

=24．
∴AE=2

6

．

点评：本题考查了圆的性质、切线的性质、射影定理、余弦定理等基础知识与基本技能，属于基础题．