Question

设函数，其中为常数．

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；

（Ⅲ）当且时，求证：．

Answer 1

解：（1）由题意知，的定义域为，

    

当时， ，函数在定义域上单调递增．

（2）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．   

②时，有两个相同的解，

时，

时，函数在上无极值点．

③当时，有两个不同解，

 

时，，

,

此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：

	减	极小值	增

由此表可知：时，有惟一极小值点，     

ii)  当时，0<<1

此时，，随的变化情况如下表：

	增	极大值	减	极小值	增

由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；         

综上所述：

当且仅当时有极值点;    

当时，有惟一最小值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点

（3）由(2)可知当时，函数，

此时有惟一极小值点

且

 

令函数