Question

在平面直角坐标系xOy中，过定点C(p,0)作直线与抛物线y²＝2px(p＞0)相交于A，B两点，如图，设动点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂).

(1)求证：y₁y₂为定值；

(2)若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值；

(3)是否存在平行于y轴的定直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

1)当直线AB垂直于x轴时，

y₁＝p，y₂＝－p，

因此y₁y₂＝－2p²(定值)；

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为

y＝k(x－p)，

由得ky²－2py－2p²k＝0，

∴y₁y₂＝－2p².

因此有y₁y₂＝－2p²为定值.

(2)∵C(p,0)，∴D(－p,0)，∴|DC|＝2p.

S_△ADB＝|DC|·|y₁－y₂|.

当直线AB垂直于x轴时，

S_△ADB＝·2p·2p＝2p²；

当直线AB不垂直于x轴时，由(1)知y₁＋y₂＝，

因此|y₁－y₂|＝

＝＞2p，

∴S_△ADB＞2p².

综上，△ADB面积的最小值为2p².

(3)假设存在直线l：x＝a满足条件.

设AC中点E(，)，|AC|＝，

因此以AC为直径的圆的半径r＝|AC|

＝＝，

AC中点E到直线x＝a的距离d＝|－a|，

∴所截弦长为：

2＝2

＝

＝，

当p－2a＝0，a＝时，

弦长＝＝p为定值.

这时直线l的方程x＝.