题目内容

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，∴ac=35，
又∵ $\text{[math]}$ ，0＜B＜π，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
（2）由（1）知：ac=35，且a=7，∴c=5，
则 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
由正弦定理得： $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
又∵a＞c，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先根据平面向量的数量积的运算法则化简 $\text{[math]}$ ，把cosB的值代入求出ac的值，然后由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac和sinB的值代入即可求出△ABC的面积；
（2）由（1）求出的ac的值和a的值，求出c的值，再由a，c及cosB的值，利用余弦定理求出b的值，再由b，sinB以及c的值，利用正弦定理求出sinC的值，利用大边对大角，由a大于c得到角C为锐角，由特殊角的三角函数值即可求出角C的度数．
点评：此题综合考查了正弦、余弦定理以及三角形的面积公式，培养了学生分析问题，解决问题的能力．学生做题时注意以下两点：第1问中注意两向量的夹角为π-B，不是角B；第2问中由a＞c，利用大边对大角得到角C为锐角．