题目内容
设函数f(x)=| 1 | 3 |
分析：先由函数，求导，再由“函数f(x)=
x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上是单调函数”转化为“f′（x）=x2+2ax+5≥0或f′（x）=x2+2ax+5≤0在[1，3]上恒成立”，进一步转化为最值问题：a≥-（
+
）或a≤-（
+
）在[1，3]上恒成立，求得[-（
+
）]max，[-（
+
）]min即可．
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 2x |
| x |
| 2 |
| 5 |
| 2x |
| x |
| 2 |
| 5 |
| 2x |
| x |
| 2 |
| 5 |
| 2x |
| x |
| 2 |
解答：解：∵函数f(x)=
x3+ax2+5x+6
∴f′（x）=x2+2ax+5
∵函数f(x)=
x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上是单调函数
∴f′（x）=x2+2ax+5≥0或f′（x）=x2+2ax+5≤0在[1，3]上恒成立
即：a≥-（
+
）或a≤-（
+
）在[1，3]上恒成立
∴a≥[-（
+
）]max或a≤[-（
+
）]min
而3 ≥
+
≥
∴a≥-
或a≤-3
故答案为：（-∞，-3]∪[-
，+∞)
| 1 |
| 3 |
∴f′（x）=x2+2ax+5
∵函数f(x)=
| 1 |
| 3 |
∴f′（x）=x2+2ax+5≥0或f′（x）=x2+2ax+5≤0在[1，3]上恒成立
即：a≥-（
| 5 |
| 2x |
| x |
| 2 |
| 5 |
| 2x |
| x |
| 2 |
∴a≥[-（
| 5 |
| 2x |
| x |
| 2 |
| 5 |
| 2x |
| x |
| 2 |
而3 ≥
| 5 |
| 2x |
| x |
| 2 |
| 5 |
∴a≥-
| 5 |
故答案为：（-∞，-3]∪[-
| 5 |
点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．
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