Question

【题目】已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）证明：当时，方程在区间上只有一个解；

（3）设，其中.若恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，在区间上单调递增.（2）见解析(3)

【解析】分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）求出函数的导函数，根据函数的单调性，得到函数在的零点个数，求出方程在的解的个数即可；

（3）设，，根据函数的单调性求出函数的最小值， ，求出的范围即可.

详解：（1）由已知.

所以，在区间上，函数在上单调递减，

在区间上，函数在区间上单调递增.

（2）设，.

，由（1）知，函数在区间上单调递增.

且，.

所以，在区间上只有一个零点，方程在区间上只有一个解.

（3）设，，定义域为，

，

令，则，

由（2）知，在区间上只有一个零点，是增函数，

不妨设的零点为，则，

所以，与在区间上的情况如下：

	-	0	+

所以，函数的最小值为，

，

由，得，

所以.

依题意，即，解得，

所以，的取值范围为.