Question

已知双曲线（a＞0，b＞0）过点，且离心率为，设F₁、F₂是双曲线的两个焦点，点P为双曲线上一点
（1）求双曲线的方程；
（2）若△PF₁F₂是直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用双曲线（a＞0，b＞0）过点，且离心率为，求出几何量，可得双曲线的方程；
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，求出mn，利用面积公式，确定P的纵坐标，从而可求P的坐标．
解答：解：（1）∵双曲线（a＞0，b＞0）过点，且离心率为，
∴
∴c=2，∴b²=c²-a²=2，
∴双曲线的方程为；
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则
∴mn=4
∴=2
设P（x，y），则，∴|y|=1，∴y=±1
y=1时，x=±；y=-1时，x=±，
∴P（，±1）或P（-，±1）．
点评：本题考查双曲线的标准方程与性质，考查学生的计数能力，属于中档题．