Question

【题目】设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对正数，都有；（2）当时，；（3）；

（1）求和的值；

（2）如果不等式成立，求的取值范围；

（3）如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）

【解析】

（1）对于任意的，，，令，，即可求得、的值；

（2），根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．

（3）把根据条件转化为，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式有解，分离参数转化我求函数的最值问题．

（1）因为对于正数，都有，又，

所以令，有，则；再令，有；

（2）已知，，根据题干给出的条件有：，

而当，时，有

，

当，时，即，

于是等价于；

当时，，取，且，则

则令，代入等式得：，

所以函数单调递减，

，

，解得：；

（3）同上理，不等式可化为且，

得，此不等式有解，等价于，

在的范围内，易知，

故即为所求范围．