题目内容

若函数f（x）对任意实数x恒有2f（x）-f（-x）=3x+1，则f（x）=________．

x+1
分析：可采用赋值法，令x换成-x，求得2f（-x）-f（x）=-3x+1，结合2f（x）-f（-x）=3x+1，即可求得f（x）的表达式．
解答：∵f（x）-f（-x）=3x+1…（1）
∴2f（-x）-f（x）=-3x+1…（2）
（1）式两边同乘以2，得
4f（x）-2f（-x）=6x+2
与（2）式相加，得到
3f（x）=3x+3
所以f（x）=x+1．
故答案为：x+1．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法及方程思想的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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若函数f（x）对任意自然数x，y均满足：f（x+y2）=f（x）+2[f（y）]2，且f（1）≠0则f（2010）=
 
．
4、若函数f（x）对任意实数x都有f（x）＜f（x+1），那么（　　）
若函数f（x）对任意的实数x1，x2∈D，均有|f（x2-f（x1））|≤|x2-x1|，则称函数f（x）是区间D上的“平缓函数”．下列函数是实数集R上的“平缓函数”的是（　　）
若函数f（x）对任意的实数x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，则称函数f（x）是区间D上的“平缓函数”，
（1）判断g（x）=sinx和h（x）=x2-x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；
（2）若数列{xn}对所有的正整数n都有 |xn+1-xn|≤
1
(2n+1)2
，设yn=sinxn，求证：|yn+1-y1|＜
1
4
．
等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在表的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，数列{bn}满足bn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)，设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．

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