Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（Ⅲ）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对函数f（x）求导f′（x），根据x=1为f（x）的极值点，得到f′（1）=0，解这个方程即可求得a的值；
（Ⅱ）根据切点在切线上，求得f（1），且切点在y=f（x）的图象上，代入求得关于a，b的一个方程，根据导数的几何意义知f′（1）=-1，解方程组即可求得a，b的值，求函数f（x）在区间（-2，4）上的极值，再与f（-2），f（4）比较大小，可求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（Ⅲ）由f（x）在区间（-1，1）上不单调，得函数f′（x）在（-1，1）上存在零点，讨论求得a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=x²-2ax+（a²-1）
∵x=1为f（x）的极值点，
∴f′（1）=0，即a²-2a=0，
∴a=0或2；

（II）∵（1，f（1））是切点，
∴1+f（1）-3=0∴f（1）=2
即a²-a+b-

8

3

=0
∵切线方程x+y-3=0的斜率为-1，
∴f'（1）=-1，即a²-2a+1=0，
∴a=1，b=

8

3

∵f（x）=

1

3

x3-x2+

8

3

∴f'（x）=x²-2x，可知x=0和x=2是y=f（x）的两个极值点．
∵f（0）=

8

3

，f(2)=

4

3

，f（-2）=-4，f（4）=8
∴y=f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8．   
                  
（Ⅲ）因为函数f（x）在区间（-1，1）不单调，所以函数f′（x）在（-1，1）上存在零点．
而f'（x）=0的两根为a-1，a+1，相距2，
∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点．
所以f′（-1）f′（1）＜0
即：a²（a+2）（a-2）＜0
∵a²＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，-2＜a＜2
又∵a≠0，
∴a∈（-2，0）∪（0，+2）．

点评：考查利用导数研究函数的极值和闭区间上的最值，以及导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性，